Question

已知y=（根号x^2+4）+（根号（8—x）^2+16），求y的最小值 用勾股定理证

Answer 1

方法一：
作Rt△ABC，使AB⊥BC，且AB＝2、BC＝x。
则由勾股定理，有：AC＝√（BC^2＋AB^2）＝√（x^2＋4）。

延长BA至D，使AD＝4，过D作DE⊥AD，使C、E在BD的两侧且DE＝8－x。
则由勾股定理，有：AE＝√（DE^2＋AD^2）＝√［（8－x）^2＋16］。

∵AC＝√（x^2＋4）、AE＝√［（8－x）^2＋16］，∴y＝AC＋AE。
很明显，AC＋AE≧CE，∴当C、A、E三点共线时，y有最小值＝CE。

过E作EF⊥CB交CB的延长线于F。
∵BD⊥DE、BD⊥BF、EF⊥BF，∴BDEF是矩形，∴BF＝DE＝8－x、EF＝BD＝AB＋AD＝6，
∴CF＝BF＋BC＝8。
由勾股定理，有：CE＝√（EF^2＋CF^2）＝√（36＋64）＝√80＝4√5。
于是，y的最小值为 4√5。

方法二：
引入复数z1＝x＋2i、z2＝（8－x）＋4i。则：
y＝｜z1｜＋｜z2｜≧｜z1＋z2｜＝｜x＋2i＋（8－x）＋4i｜＝｜8＋6i｜＝√（64＋36）＝4√5。
∴y的最小值为 4√5。