Question

求∫∫丨cos(x+y)丨dxdy 区域D为0<=x<=π 0<=y<=π 求高手指点

Answer 1

这道题目有点难度，首先是要去掉绝对值号，当x+y=π/2时，将区域D分出两块，但是在这两块里并不能保证cos(x+y）的正负号的唯一性，也就不能去掉绝对值号，所以还要接着分析。
由于0≤x≤π ，0≤y≤π ，于是0≤x+y≤2π ，在这个范围里分析，
当 0≤x+y≤π/2 时有 cos(x+y)≥0，
当 π/2＜x+y＜3π/2 时有 cos(x+y)＜0，
当 3π/2＜x+y＜2π 时有 cos(x+y)＞0，

现在我们来看这个积分区域D ：0≤x≤π ，0≤y≤π ，由于这条x+y=π/2直线将这个D分为两个部分，在积分的时候必须再分一块，出现三块，
D1：0≤x≤π/2，0≤y≤π/2 - x ，在这D1中就能推出 0≤x+y≤π-x ，而 0≤x≤π/2 ，所以有 0≤x+y≤π/2 ， 所以就保证了， cos(x+y)≥0，

D2：0≤x≤π/2，π/2 - x≤y≤π ，在这D2中能推出 π/2-x ≤x+y≤3π/2，而 - π/2 ≤-x≤0 ，左边0≤π/2-x≤π/2 所以有 π/2＜x+y＜3π/2 ，这就保证了 时有 cos(x+y)＜0，

D3：π/2≤x≤π，0≤y≤π ， 在这D3中只能推出 π/2＜x+y＜2π 时有 cos(x+y)＞0和cos(x+y)<0出现，怎么办？还要将这个D3分两块：D4：π/2＜x+y＜3π/2 ,有cos(x+y)<0 和D5，3π/2＜x+y＜2π 时，cos(x+y)＞0

于是原积分式 ∫∫丨cos(x+y)丨dxdy =∫∫D1+∫∫D2+∫∫D3+∫∫D4+∫∫D5=∫（0，π/2）dx ∫（0,π/2 - x) cos(x+y)dy +∫（0，π/2）dx ∫（π/2 - x,π) (-cos(x+y)) dy +∫（π/2,π）dx ∫（0,π) cos(x+y) dy +0+∫∫D5
=(π/2-1)+(1+π/2) + (-2)=π-2 。

注意最后积分的时候仔细一点，比如计算=∫（0，π/2）dx ∫（0,π/2 - x) cos(x+y)dy =∫（0，π/2）dx ∫（0,π/2 - x) cos(x+y)d(x+y)=∫（0，π/2）[sin(x+π/2 - x)- sin(x+0) dx=∫（0，π/2）[sin(π/2) -sinx] dx =∫（0，π/2) (1-sinx) dx =π/2-1 ，其它同理

将这些符号打上去真辛苦