Question

巳知函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数

巳知函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数(例如就不说了），x∈[0,n],n∈N*,设f(x)的值域为集合A，集合A的元素个数为an,求(an+90)/n的最小值。答案是13，需要详细过程。

Answer 1

设x = a+b ,a是整数，b是[0，1)之间的小数
那么f(x) = f(a+b) = a^2 + [ab]
0<=b<1
所以0<=ab<a
取遍[0，1)的所有b，[ab]可以知道[0,a)之间的整数可以取遍
所以f(x)在[a,a+1)上可以取得a^2 ,a^2+1,......a^2+a-1之间的所有值，一共有a个元素。
所以在[a-1.a)上有a-1个元素
所以值域可以写成{0,1,4,5,9,10,11,16,17,18,19.......}
全部相加得f(x)在[0,n)上一共有1+1+2+3+...+(n-1) = (n-1)n/2 + 1个元素
所以an=(n-1)n/2 + 1
(an+90)/n = (n-1)/2 + 91/n
所以当n=13的时候取得最小值 (13-1)/2 + 91/13 = 13