Question

高一数学函数题，在线等

已知-π/6≤B＜π/4,3sin²A-2sin²B=2sinA，试求sin²B-1/2sin²A的最小值

Answer 1

解析：
已知3sin²A-2sin²B=2sinA，那么：3sin²A-2sinA=2sin²B
又-π/6≤B＜π/4,则-1/2≤sinB＜(根号2)/2
所以：0≤sin²B<1/2即0≤2sin²B<1
那么：0≤3sin²A-2sinA<1
不等式3sin²A-2sinA<1可化为：3sin²A-2sinA-1<0，(3sinA+1)(sinA-1)<0，得：-1/3<sinA<1；
不等式3sin²A-2sinA≥0可化为：sinA(3sinA-2)≥0，解得：sinA≥2/3或sinA≤0
所以不等式组0≤3sin²A-2sinA<1的解为：-1/3<sinA≤0或2/3≤sinA<1
因为：
sin²B-1/2sin²A
=(1/2)*(2sin²B-sin²A)
=(1/2)*(3sin²A-2sinA-sin²A)
=(1/2)*(2sin²A-2sinA)
=sin²A-sinA
=(sinA- 1/2)²-1/4
而-1/3<sinA≤0或2/3≤sinA<1
所以：当sinA=2/3时，sin²B-1/2sin²A取得最小值为4/9 - 2/3=-2/9