Question

不定积分问题 求解 谢谢 请发下详细过程 谢谢

Answer 1

见图，采用分部积分法。

追问

我也是算到这步 不过最后一个等号如何得出 是公式？
能给出这个证明吗？
谢谢

追答

J = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx
J² = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx · ∫(-∞→+∞) e^(- y²) dy
= ∫(-∞→+∞)∫(-∞→+∞) e^[- (x² + y²)] dxdy
极坐标，x² + y² = r²
由Jacobian变换，dxdy = rdrdθ
J² = ∫(0→2π) dθ ∫(0→+∞) e^(- r²) rdr
= 2π · (- 1/2)∫(0→+∞) e^(- r²) d(- r²)
= - π · e^(- r²)：[0^+∞]
= -π · (0 - 1)
= π
==> J = √π

或由伽玛函数证明。定义Γ(t) = ∫(0→+∞) x^(t - 1) · e^(- x) dx
J = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx
= 2∫(0→+∞) e^(- x²) dx
令u = x²，x = √u，dx = 1/(2√u) du
= ∫(0→+∞) u^(- 1/2) e^(- u) du
= ∫(0→+∞) u^(1/2 - 1) e^(- u) du
= Γ(1/2)
= (- 1/2)!
= √π