Question

已知函数f(x)=x^2+2a/x(a属于R)。若f(x)w在点x=1处的切线垂直于直线x-14y+13=0，求该点的切线方程，并...

已知函数f(x)=x^2+2a/x(a属于R)。若f(x)w在点x=1处的切线垂直于直线x-14y+13=0，求该点的切线方程，并求此时函数fx的单调区间；

Answer 1

已知函数f(x)=x^2+2a/x(a属于R)。若f(x)w在点x=1处的切线垂直于直线x-14y+13=0。（1）求该点的切线方程，并求此时函数fx的单调区间；（2）若f（x）≤a2-2a+4对任意的x∈[1，2]恒成立．求实数a的取值范围。
【分析】：
本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值和利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究曲线上某点切线方程，是对导数知识的综合考查，也是高考常考题型；
（1）先求出其导函数，利用f′(1)=2-2a=-14，解得a=8，以及切点坐标和切线方程；再把a=8代入其导函数即可求出其单调区间；
（2）先求出其导函数，再利用分类讨论思想得到其在[1，2]上的单调性进而求出其最大值，最后再把问题转化为f(x)max≤a²-2a+4，即可求实数a的取值范围。
【解答】：
解：
（1）
∵f(x)=x²+2a/x
∴f′(x)=2x-2a/x²
根据题意有:
f′(1)=2-2a=-14
解得：
a=8
①
此时切点坐标是(1，17)
故所求的切线方程是：
y-17=-14(x-1)，即：
14x+y-31=0
②
当a=8时
f′(x)=2x-16/x²=2(x³-8)/x²
令f′(x)＞0
解得：
x＞2
令f′(x)＜0
解得：
x＜2且x≠0，
故函数f(x)的单调递增区间是(2，+∞)；单调递减区间是(-∞，0)和(0，2)；
（2）
由（1）知f′(x)=2x-2a/x²=2(x³-a)/x²
①若a≤1
则f′(x)＞0在区间(1，2]上恒成立
f(x)在区间[1，2]上单调递增
函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(2)=4+a；
②若1＜a＜8
则在区间(1，a)上，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
在区间(a，2)上，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
故函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(1)，f(2)中的较大者，f(1)-f(2)=1+2a-4-a=a-3，
故：
当1＜a≤3时，函数f(x)的最大值为f(2)=4+a，
当3＜a＜8时，函数f(x)的最大值为f(1)=1+2a；
③当a≥8时
f′(x)＜0在区间[1，2)上恒成立
函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，函数f(x)的最大值为f(1)=1+2a．
综上可知：
在区间[1，2]上，
当a≤3时，f(x)max=4+a；
当a＞3时，f(x)max=1+2a．
不等式f(x)≤a²-2a+4对任意的x∈[1，2]恒成立等价于在区间[1，2]上，f(x)max≤a2-2a+4，
故：
当a≤3时
4+a≤a²-2a+4，即：
a2²-3a≥0
解得：
a≤0或a=3
当a＞3时
1+2a≤a²-2a+4，即：
a²-4a+3≥0
解得：
a＞3
故a的取值范围是(-∞，0]∪[3，+∞)。

Answer 2

直线x-14y+13=0斜率1/14。由题意，所以f(x)在x=1处切线斜率为-14
f'(x)=2x-2a/x^2 f'(1)=2-2a 也为切线斜率，
所以2-2a=-14 a=8
f(1)=17 切线方程为y-17=-14(x-1) 即14x+y-31=0

f(x)定义域为x≠0，此时(即a=8)：
f'(x)=2x-16/x^2=2(x^3-8)/x^2
令f'(x)=0 得x=2
x<2时f'(x)<0 x>2时f'(x)>0
由此可得f(x)的单调区间：
(-∞，0)和(0，2)上单调递减，(2，+∞)上单调递增。

Answer 3

f'(x) = 2x - 2a/x^2
f'(1) = 2 - 2a = -14
a = 8
切线方程
y = -14(x-1) + 16 = -14x + 30