Question

大学线性代数题

Answer 1

首先，设R(A)=m，R(B)=s。
根据秩的定义可知，A中至少有一个m阶子式不为零，B中至少有一个s阶子式不为0。那么([A,B])中也至少有一个m阶和一个s阶子式不为0，所以R([A,B])>=max{m,s}.
然后，考虑将([A,B])初等行变换为阶梯型矩阵([RA,RB])，那么([RA,RB])中前n列有m行不为0，而后n列最多有s行不为0，所以R([A,B])=R([RA,RB])<=m+s。
结论就是max{R(A),R(B)}<=R([A,B])<=R(A)+R(B).