Question

求偏导数

求偏导数 Z=(1+xy)^y的偏导数，当只要y的时候，为什么结果是z'=(1+xy)^y×[In(1+xy)+xy/(1+xy)] ？？怎么会有In的？？我用复合函数的求导方法求不出In啊！

Answer 1

z=(1+xy)^y
所以
lnz=yln(1+xy)
等式两边对y求偏导
(1/z)×(∂z/∂y)=[In(1+xy)+xy/(1+xy)]
所以∂z/∂y=z×[In(1+xy)+xy/(1+xy)]
=[(1+xy)^y]×[In(1+xy)+xy/(1+xy)]

希望对你有帮助

追问

为什么要有lnz？我不懂的地方就是为什么结果会有In，还有，为什么要两边求导？？

追答

求对y的偏导时
等式一边是z 另一边是(1+xy)^y是关于y的幂指函数
幂指函数求导是不方便的
所以z=(1+xy)^y等式两边取对数
可以把ln(1+xy)^y=yln(1+xy)
而对函数yln(1+xy)求导就方便多了

lnz与yln(1+xy)相等
所以lnz的导数与yln(1+xy)的导数也相等

追问

是不是如果是幂指函数的话，都用两边求导的方法容易点？

追答

如果是幂指函数，两边取对数

解释一下“两边求导”
若Z=(1+xy)
两边对y求导
∂z/∂y=x
两边求导是必须的