线性代数问题 如何理解特征多项式有m重根 属于同一特征值的向量就有m...
3个回答
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你的结论不对
应该是:
若特征多项式有m重根λ, 则属于特征值λ的线性无关的特征向量不超过m个.
(即几何重数不超过代数重数)
参考证明:
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你给的命题是错的，自然不可能想明白
正确的讲法：
若A是n阶复方阵，p(x)是A的特征多项式，c是p(x)的m重根，那么A关于c的线性无关的特征向量最多不超过m个。
也就是特征值的几何重数不超过代数重数。
证明很容易，如果c存在m+1个的特征向量，把它们扩张成全空间的基，A在这组基下的矩阵具有分块上三角结构，第一个对角块至少有m+1个特征值是c。
再找一个几何重数确实小于代数重数的例子就行了，比如
0 1
0 0
正确的讲法：
若A是n阶复方阵，p(x)是A的特征多项式，c是p(x)的m重根，那么A关于c的线性无关的特征向量最多不超过m个。
也就是特征值的几何重数不超过代数重数。
证明很容易，如果c存在m+1个的特征向量，把它们扩张成全空间的基，A在这组基下的矩阵具有分块上三角结构，第一个对角块至少有m+1个特征值是c。
再找一个几何重数确实小于代数重数的例子就行了，比如
0 1
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应该是实对称矩阵才满足这个定理
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