Question

已知抛物线C:y^2=4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。（1）设l的斜率为1，求向量OA和向量OB的

夹角（2）设向量FB=λ向量AF，若λ∈[4,9]求l在y轴上截距的变化范围[（2）要巧算,最好有竞赛思维]

Answer 1

F(1,0),
l:y=x-1,
代入y^2=4x，得
x^2-6x+1=0,
x=3土2√2，
∴A(3+2√2,2+2√2），B(3-2√2,2-2√2），
∴OA^2=17+12√2+12+8√2=29+20√2，
OB^2=29-20√2，
向量OA*OB=1-4=-3，
cosAOB=-3/√41，
所求夹角=arccos(-3/√41）。
（2）设l:x=my+1,
代入y^2=4x得y^2-my-1=0,
y=[m土√(m^2+4)]/2,
由向量FB=λ向量AF，λ∈[4,9]得
m+√(m^2+4)=-λ[m-√(m^2+4)],
(λ-1)√(m^2+4)=m(λ+1),
平方得（λ-1）^2*(m^2+4)=m^2*(λ+1)^2,
m^2=(λ-1)^2,
∴m=土（λ-1）,
∴l在y轴上的截距=-1/m,其变化范围为[-1/3,-1/8]∪[1/8,1/3].

追问

做错了

追答

哪一步错了？

追问

第二问直线带入抛物线漏乘了

追答

F(1,0),
l:y=x-1,
代入y^2=4x，得
x^2-6x+1=0,
x=3土2√2，
∴A(3+2√2,2+2√2），B(3-2√2,2-2√2），
∴OA^2=17+12√2+12+8√2=29+20√2，
OB^2=29-20√2，
向量OA*OB=1-4=-3，
cosAOB=-3/√41，
所求夹角=arccos(-3/√41）。
（2）设l:x=my+1,
代入y^2=4x得y^2-4my-4=0,
y=2m土2√(m^2+1),
由向量FB=λ向量AF，λ∈[4,9]得
2m+2√(m^2+1)=-λ[2m-2√(m^2+1)],
(λ-1)√(m^2+1)=m(λ+1),
平方得（λ-1）^2*(m^2+1)=m^2*(λ+1)^2,
m^2=(λ-1)^2/4,
∴m=土（λ-1）/2,
∴l在y轴上的截距=-1/m,其变化范围为[-2/3,-1/4]∪[1/4,2/3].

追问

还是错的，你怎么知道yA=2m-2√（m^2+1)和yB=2m+2√（m^2+1)?

追答

您可以交换一下，仍可得到相同的结论。