Question

急急急急急急！！！！！！数学大侠请来帮帮我，求一道选择题的详细解答过程，谢谢！！！！！！

如题：若p是以F1、F2为焦点的椭圆（x²/a²）+（y²/b²）（a＞b＞0)上的一点，且向量PF1*向量PF2=0，tan∠PF1F2=1/2，则此椭圆的离心率为（）
A.√5/3 B.√2/3 C.1/3 D.1/2
该题答案为A项，跪求该题详细解题过程，谢谢！！！！！！

Answer 1

设PF1=x
则PF2=2a-x
又向量PF1*向量PF2=0，tan∠PF1F2=1/2，
即∠F1PF2=90°
所以
PF2/PF1=1/2=(2a-x)/x=1/2
4a-2x=x
x=4a/3
2a-x=2a/3
所以
由勾股定理得
PF1²+PF2²=F1F2²
16a²/9+4a²/9=4c²
20a²/9=4c²
c²/a²=5/9
即
e=c/a=√5/3
选A

追问

O(∩_∩)O谢谢！！！请问该题如果想不到用直接法计算，可以随便代一些符合题意的值来计算吗，我怕我所选取的值不够特殊ing，这种办法好计算，但算出来的结果可能有偏差...请问您对此的看法是？

追答

可以画图，画准确一点，然后去估计，应该可以排除好多的。

Answer 2

在高中阶段，我所接触到的所有关于2次曲线的题中，除了少量特别简单的，我全部先画图。
准确而快速的作出图像，对于解题有着非常直观的作用，有的时候甚至直接就可以获得答案（比如选择题）
当然，前提还是要有大量的练习和精细的抽象思维能力，因为有的时候图像关键部分不能由确切数字来表达，要能想象出来那种情形才好解题，否则硬是要画出图来，就有点舍近求远了。
在高中阶段很多东西不需要严格的证明，况且还有选择题这种题型，图像的作用很大。
总之，良好的作图能力，是解此类题的一条捷径。
说了怎么多，讲下此题：
椭圆，根据答案给予的某一个离心率，你如果能够迅速想象出一系列椭圆（而且根据题意你只需要随便确定一个简单的就可以，就是说随便选一组a,b），然后简单的作图分析即可很快得到答案。

追问

非常感谢O(∩_∩)O哈！您的解答很棒哦，只有投硬币决定最佳回答了~

追答

硬币是好东西啊,古时候有个将军战败逃亡到了一条大河,过河是死,回头也是死,那咋办?
问苍天吧!
结果,上天都要他们回头,士兵们怀着对上天的敬畏,带着誓死的勇气,士气如虹,冲了回去,居然打赢,反败为胜了!
你猜,硬币能决定什么?又是谁来决定硬币?

Answer 3

向量相乘等于0，即是这两向量相互垂直。所以在直角三角形PF1F2中tan<PF1F2=1/2
则PFI=2PF2,F1F2=√5PF2
由椭圆定义可知，|PF1|+|PF2|=2a
|F1F2|=2c
e=c/a=F1F2/(PF1|+|PF2|)
=(√5PF2)/(3PF2)=√5/3

Answer 4

因为向量PF1*向量PF2=0，所以PF1与PF2垂直，角F1PF2是直角三角形。不妨设点P在Y轴右侧，因为tan∠PF1F2=1/2，所以设PF1=X,PF2=2X,那么a=3X/2;又由勾股定理得C=F1F2/2=√5X/2,则此椭圆的离心率为e=c/a=√5/3

Answer 5

支持howshineyou

Answer 6

选A