Question

高等数学的一个问题...

当n趋近于无穷的时候，为什么n次根号下n的极限是1？

请给出证明过程，谢谢

Answer 1

n次根号下n，即n的1/n次方，当n趋于无穷时，1/n趋于0，n的0次方为1啊

Answer 2

一楼三楼做得都不对，虽然指数部分是0次方，但是底数是无穷大，∞^0是不定型。
lim[n→∞] n^(1/n)
转化为：lim[x→+∞] x^(1/x)
设y=lim[x→+∞] x^(1/x)
两边取对数：lny=(1/x)lnx
lim[x→+∞] lny
=lim[x→+∞] (1/x)lnx
洛必达法则
=lim[x→+∞] (1/x)
=0
因此：lim[x→+∞] lny=0，即：lim[x→+∞] y=1

追问

正解...本来该选你，结果一不小心点错了，唉

追答

没关系

Answer 3

当n趋近于无穷的时候
ln[lim n^(1/n)]=lim ln[n^(1/n)]
=lim ln(n)/n 是无穷比无穷型 用洛必达法则上下求导
=1/n
=0

由于ln(1)=0
所以lim n^(1/n)=1

希望对你有帮助

追问

正解。正解

追答

哈哈，无语掉

追问

...辛苦了

Answer 4

令n^(1/n)=1+an
则n=(1+an)^n>n(n-1)/2 * (an)^2
∴
0<an<(2/(n-1))^(1/2)
存在ε>0, 令N=1+ 2/ε^2, 当n>N时
|n^(1/n)-1|=a(n)<(2/(n-1))^(1/2) <ε
∴lim(n^(1/n))=1.

追问

您辛苦了，不过说实话您的证明我没怎么看明白...可能我水平太低，我再好好研究研究，谢谢

追答

抱歉，是我的责任

Answer 5

这个简单啊,你把它换一种形式,n次根号n等于n的n分之一次方,当n趋近于无穷时,n分之1趋于0,任何不为0的0次方为1.就这么简单/..希望能帮到你.

追问

。。。无穷的0次方是未定式

Answer 6

1楼3楼正解

追问

1楼3楼错解...