Question

已知λ1λ2是矩阵A不同的特征值，a1a2是特征值λ1的线性无关的特征向量，β1β2β3是特征值

λ2的线性无关的特征向量。证明:a1 a2 β1β2β3线性无关

Answer 1

先设 k1 k2……记为1式

然后由特征值定义 方程两边 左乘矩阵A记为2式

然后2式减去兰姆达倍的1式

你减一下一下就看出来了

因为入2不等于入1且β1β2β3线性无关 所以 l1=l2=l3＝0 （我设的是k1 k2 l1 l2 l3）然后代入1式 你自己代一下

又因为a1 a2线性无关 所以k1= k2=0

综上 要使等式成立系数都为0 所以线性无关

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，

称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。

¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解  ，  称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

扩展资料：

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

若B可逆，则原关系式可以写作  ，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。

如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为A矩阵未必是对称的。

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）．

[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.

参考资料：百度百科——矩阵特征值

Answer 2

今天刚好做到这题 我不知道怎么传图片 我的解法就是用定义
先设 k1 k2……记为1式
然后由特征值定义 方程两边 左乘矩阵A记为2式
然后2式减去兰姆达倍的1式
你减一下一下就看出来了
因为入2不等于入1且β1β2β3线性无关 所以 l1=l2=l3＝0 （我设的是k1 k2 l1 l2 l3）然后代入1式 你自己代一下
又因为a1 a2线性无关 所以k1= k2=0
综上 要使等式成立系数都为0 所以线性无关
得证
写的乱七八糟 但是思路应该正确 你试着做一下
用的就是李永乐老师讲的乘的思路

Answer 3

如图

Answer 4

反证法证明α1与β1无关 同理可得α1与β2β3也无关。同样α2与β1无关，同理得α2与β2β3无关，结合题目所述，所以五者之间都无关

Answer 5

"β2，β3是A属于特征值λ2的特征向量" 没有线性无关的条件?

追问

β1 β2 β3是特征值λ2的线性无关的特征向量。

β1 β2 β3是特征值λ2的线性无关的特征向量。

麻烦帮看下，谢谢啦😊