Question

级数求和函数，在线等

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Answer 1

令f(x)=求和（n=1到无穷）nx^(n--1)
=求和（n=1到无穷）(x^n)'
=【求和（n=1到无穷）x^n】'
=【x/(1--x)】’
=1/(1--x)^2。
故所求和函数为
x/2*求和（n=1到无穷）n*(x/2)^(n--1)
=x/2*f(x/2)
=2x/(2--x)^2。

Answer 2

1/(1-y) = 1+y+y^2+....
两边取导

1/(1-y)^2 = 1+2y+3y^2+......
y/(1-y)^2 = y+2y^2+3y^3+......
put y=x/2
(x/2)/(1-(x/2))^2 = x/2+2(x/2)^2+3(x/2)^3+......
x/2+2(x/2)^2+3(x/2)^3+...... = 2x/(4-x)^2
∑(n:1->∞) (n/2^n) x^n = 2x/(4-x)^2

Answer 3

先把x抽出来，再逐项积分，就可求和了。这里不好写。