Question

数学急！半小时内！已知函数f(x)=mx2-x+lnx

（）当m=-1时，求函数f(x)最大值（）若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围

Answer 1

“俊狼猎英”团队为您解答：
当m=-1时，f(x)=-x^2-x+lnx
则f'(x)=-2x-1+1/x=-(x+1)(2x-1)/x=0
解得x=-1, x=1/2
由于f(x)的定义域是x>0,
所以在(0,1/2)上f'(x)>0, 在(1/2, +∞）上f"(x)<0,
因此在(0,1/2)上f(x)是单调递增的， 在(1/2, +∞）上f(x)是单调递减的。
因此在x=1/2时取得最大值，最大值是f(1/2)=-3/4-ln2.
(2) f'(x)=2mx-1+1/x=(2mx^2-x+1)/x
要使函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，
即f'(x)在x>0上有解，从而2mx^2-x+1=0在x>0上有解。
由于2mx^2-x+1这个函数过（0，1）点，对称轴为x=1/4m,所以
若m>0, 则1/4m>0, 且△=1-8m>0, 解得0<m<1/8.
若m=0, 则2mx^2-x+1=-x+1=0， x=1, 显然满足。
若m<0,则2mx^2-x+1是开口向下的，它显然满足的。
综上可知m<1/8.

Answer 2

f'(x)=2mx-1+1/x
(1) m=-1
f'(x)=-2x-1+1/x=(-2x^2-x+1)/x
f'(x)=0,2x^2+x-1=0,
解得：x=-1,x=1/2
∴0<x<1/2,f'(x)>0,f(x)递增
x>1/2,f'(x)<0,f(x)递减
∴f(x)max=f(1/2)=-1/4-1/2+ln(1/2)=-3/4-ln2
2
依题意存在x>0,使得 f'(x)=2mx-1+1/x<0成立
即2mx<1-1/x 即 m<1/2( 1/x-1/x²) 成立
设1/x=t>0,
∴1/x-1/x²=-t²+t=1/4-(t-1/2)²∈(-∞,1/4]
∴1/2( 1/x-1/x²)∈(-∞,1/8]
∴m<1/8
∴m的取值范围是(-∞,1/8）

Answer 3

(1)m=-1时，f(x)=-x*x-x+lnx,f(x)的导数记为F(x)=-2x-1+1/x=(-2x+1)*(x+1)/x,从定义域中可知x>0,从导数可以看出0<x<0.5时，F(x)>0，即f(x)递增，x>0.5时，F(x)<0，即f(x)递减，所以最大值为
f(0.5)=-0.75+ln0.5。
(2)F(x)=2mx-1+1/x,显然当m<=0的时候，当x*x>(-1/2m)时，F(x)<0,当m>0时，只需(2mx+1/x)的最小值小于1即可，(2mx+1/x)>=2*二次根号(2m),故可求到m<1/8。综上，得m<1/8。
望采纳。

Answer 4

当m=-1时，求函数f(x)最大值为负四分之三减ln2

f'(x)=2mx-1+1/x=(2mx^2-x+1)/x.(x>0)
在区间D上是减函数,则有f'(x)<0,即2mx^2-x+1<0
(i)m<0,g(x)=2mx^2-x+1开口向下,又过(0,1)点,故符合.
(ii)m=0,g(x)=-x+1<0,x>1,符合.
(iii)m>0,时,对称轴x=1/(4m)>0,判别式=1-8m>0,得到0<m<1/8
综上所述,m的范围是m<1/8.

Answer 5

f(x)'=-2x-1+1/x=0
解得：x=1/2或-1(舍去)
f(1/2)=-(1/2)^2-1/2+ln(1/2)=-1/4-ln2

f(x)'=2mx-1+1/x<=0
因为lnx,所以x>0
解f(x)'<=0得：m<=1/(2x)