Question

为什么有些函数展开成幂级数n要从1开始？

为什么有些函数展开成幂级数n要从1开始？老师说是第一项(n＝0时)若为常数，求导之后等于零，会出错。可是现在不理解为什么会出错了…

Answer 1

因为标准形式是从n=0开始。n从1开始可以统一到n从0开始的形式，例如∑〔n从1开始〕1/n²=∑〔n从0开始〕1/（n+1）²。如果说到∑〔n从0开始〕1/（n+1）²与∑〔n从1开始〕1/（n+1）²，二者的敛散性是一样的，即求收敛半径时，没有影响，有影响的是二者的和。这一点，对一般的an也是这样。

通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫作迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。

概念分析

数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的(x-a)的n次方(n是从0开始计数的整数，a为常数)。

幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使收敛发散，称R为收敛半径，(-R，R)为收敛区间。

Answer 2

①，
标准形式是从n=0开始。
②，
n从1开始可以统一到n从0开始的形式，
例如∑〔n从1开始〕1/n²=∑〔n从0开始〕1/（n+1）²。
③，
如果说到∑〔n从0开始〕1/（n+1）²与∑〔n从1开始〕1/（n+1）²，
二者的敛散性是一样的，即求收敛半径时，没有影响，
有影响的是二者的和。这一点，对一般的an也是这样。