Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且满足6a-3b=2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S=54
时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且满足6a-3b=2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S=
5
4
时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）从图上可知抛物线经过点A、B点，结合已知条件可以求得A、B、C点的坐标，即可得出解析式；
（2）根据勾股定理和已知条件，可以求得PB、BQ的长度，即可求出S与运动时间t之间的函数关系式（0≤t≤1）；
（3）首先根据S的值，求出t的值，继而求出P、Q点的坐标，然后分情况讨论：假设存在这样的R点，①R在BQ的右边，②R在BQ的左边③R在PB的下方，根据平行四边形的性质求出R点的坐标，代入抛物线解析式，看能否使等式成立，能的话，这种情况就存在．
解答：解：（1）据题意知：抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，-2），点B（2，-2），
而且6a-3b=2
则
c=-2
4a+2b+c=-2
6a-3b=2
，
解得
a=
1
6
b=-
1
3
c=-2
，
∴抛物线的解析式为：y=
1
6
x2-
1
3
x-2；

（2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
则S=PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2，
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
∴当S=
5
4
时，5t2-8t+4=
5
4
，
得20t2-32t+11=0，
解得t=
1
2
，t=
11
10
（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，-
3
2
）；
若R点存在，分情况讨论：
[A]假设R在BQ的右边，这时QR
∥
.
PB，则，R的横坐标为3，R的纵坐标为-
3
2

即R（3，-
3
2
），代入y=
1
6
x2-
1
3
x-2，左右两边相等，
∴这时存在R（3，-
3
2
）满足题意．
[B]假设R在BQ的左边，这时PR
∥
.
QB，则：R的横坐标为1，纵坐标为-
5
2
，
即（1，-
5
2
），代入y=
1
6
x2-
1
3
x-2，左右两边不相等，R不在抛物线上．
[C]假设R在PB的下方，这时PR
∥
.
QB，则：R（1，-
5
2
）代入，y=
1
6
x2-
1
3
x-2，
左右不相等，
∴R不在抛物线上．
综上所述，存点一点R（3，-
3
2
）满足题意．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定，根据解析式求点的坐标，平行四边形的性质等知识点，本题关键在于求得解析式，结合图形求相关点的坐标．