Question

在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c。若b^2=ac，求y=(1+sin2B)/(sinB+cosB)的取值范围

Answer 1

1、b²=a²+c²-2accosB,，b^2=ac
所以cosB=(a²+c²-ac)/2ac
因为a²+c²≥2ac,[（a-c）²≥0，∴a²+c²≥2ac]

所以cosB≥(2ac-ac)/2ac=1/2
所以B≤60
因为三角形ABC中|a-c|<b,所以a²-2ac+c²<b²=ac，
所以a²+c²-ac<2ac
所以cosB<1
所以B>0
所以0<B≤60。
2、y=(1+sin2B)/(sinB+cosB)=(sin²B+cos²B+2sinBcosB)/(sinB+cosB)=(sinB+cosB)²/(sinB+cosB)=sinB+cosB
我们知道y=sinB+cosB，y′=cosB-sinB=0，∴cosB=sinB，而0<B≤60，由于最大值可在B=45°时取到，最小值则取不到，在下限是个开区间1，所以值域为:
1<y≤根号2。