建立如图所示的坐标系mOn,为了与题目中已有的参数x,y相区别,使用m,n分别表示横纵坐标。
设|OA|=b,∠BOA=α,∠OAB=β。
OA=(b,0);
正弦定理,|OB|=bsinβ/sin(α+β)
OB=(bsinβcosα/sin(α+β),bsinβsinα/sin(α+β))
OP=xOA+yOB
=(xb+ybsinβcosα/sin(α+β),ybsinβsinα/sin(α+β)
OB方程:n=mtanα
OM方程:n=-mtanβ
AB方程:n=-(m-b)tanβ
P所在的区域,可以表示为:
n>mtanα,n>-mtanβ,n<-(m-b)tanβ
OP坐标代入:
ybsinβsinα/sin(α+β)>(xb+ybsinβcosα/sin(α+β))tanα
ybsinβsinα/sin(α+β)>-(xb+ybsinβcosα/sin(α+β))tanβ
ybsinβsinα/sin(α+β)<-(xb+ybsinβcosα/sin(α+β)-b)tanβ
化简:
ybsinβcosα>xbsin(α+β)+ybsinβcosα
xbsin(α+β)<0,x<0;
ysinαcosβ>-xsin(α+β)-ysinβcosα
ysin(α+β)>-xsin(α+β),y>-x;
ysinαcosβ<-(x-1)sin(α+β)-ysinβcosα
ysin(α+β)<-(x-1)sin(α+β);y<-(x-1)=1-x
-x<y<1-x
x=-1/2代入:
1/2<y<3/2
2018-08-14
至于第一空为什么只能往负数取,是通过计算计算om这条线上的情况得出的,我也懒得算。你自己可以试试。
所以:向量OP = x*向量OA + y*向量OB = x*(向量OB - 向量AB) + y*向量OB
=(x+y)*向量OB - x*向量AB
所以:-x>0,所以:x<0,这就是x的取值范围
同时,0<x+y<1
而当x=-1/2时,则:0<(-1/2)+y<1,所以:1/2<y<3/2,这就是y的取值范围
请问为什么-x>0呢:D(我数学不好)
看上面的图1,图2
在图1中,作CB平行OA,那么:向量OC=向量AB,就是说在OM上可以找到AB的等量向量
在图2中,作:向量OB‘=(x+y)*向量OB,作:向量OC'= -x*向量AB
作平行四边形,就能得到P点
如果 -x<=0的话,C'点就会在MO向下方的延长线上(x=0的话,C'点就是O点),那么P点就不会在MOBF的区间内,所以:-x>0
如果 OB' > OB (也就是x+y>1)的话,B'点将在OB右侧的延长线上;如果 x+y<0的话,B'点将在OB左侧的延长线上;如果x+y=0,B'点就是O点;如果x+y=1,B'点就是B点,这些情况下,P点都不会在在MOBF的区间内。所以:0<x+y<1