Question

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC＝∠α,将△DOC

以直线MN为对称轴翻折得到△D´OC´（D与D´对应，C与C´对应），直线AD´、BC´相交于点P。
当四边形ABCD是等腰梯形时，AD∥BC,如图③，∠APB与∠α有怎样的位置关系？请证明

Answer 1

∠APB+∠α=180°
证：
△DOC≌△D'OC'，所以DO=D'O
等腰梯形ABCD，所以DO=AO，
所以D'O=AO，
同理可得C'O=BO
并且∠D'OC'=∠AOB=∠DOC=∠α
所以∠D'OC'-∠AOC'=∠AOB-∠AOC'
即∠D'OA=∠C'OB，
所以△D'OA∽△C'OB,
所以∠D'AO=∠C'BO,
所以∠PAO+∠PBO=180°，
所以在四边形AOBP中，∠APB+∠AOP=180°，
所以∠AOB=∠APC'=∠α
所以∠APB+∠α=180°