Question

已知函数 f(x)=a1x+a2x^2+....+anx^n,n是正整数,且f(1)=n^2

1.求数列a1,a2,an的通项公式
2．求证：f(1/3)<1

Answer 1

f(x)=a1x+a2x^2+....+anx^n
f(1)=a1+a2+......+an=n^2
Sn=n^2
S(n-1)=(n-1)^2
an=Sn-S(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1

f(x)=x+3x^2+5x^3+7x^4.....+(2n-1)x^n
xf(x)= x^2 +3x^3+5x^4+...+(2n-3)x^n+(2n-1)x^(n+1)
相减：(1-x)f(x)=x+2(x^2+x^3+x^4+.....+x^n)-(2n-1)x^(n+1))
f(x)=x/(1-x)+2[x^2(1-x^(n-1))]/(1-x) -(2n-1)x^(n+1)/(1-x) x 不等于1
f(1/3)=1/2+(1-3^(1-n))/3-3(2n-1)3^(-n-1)/2
f(1/3)=5/6-3^(-n)-(2n-1)3^(-n)/2
f(1/3)=5/6-3^(-n)*(0.5+n)
只需：5/6-3^(-n)*(0.5+n)<1
只需：-1/6<3^(-n)*(0.5+n)
用数学归纳法：
n=1时，1/3*3/2=1/2>-1/6成立。

n=k时，成立。：-1/6<3^(-k)*(0.5+k)

n=k+1时，3^(-K-1)*(0.5+k+1)=3^(-k)*(1.5-k)*3^(-1)+3^(-k-1)
>-1/6*1/3+3^(k+1)=-1/18>-1/6

所以n=K+1时也成立。
所以f(1/3)<1成立。