Question

已知直线y=‐x＋6分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O

向A点运动，速度为每秒2个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒。
⑴线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，点Q与点P以相同的速度同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，如图①。
①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标﹔
②求△ACQ的面积S与时间t的函数关系式﹔当△ACQ为直角三角形时，求t的值
⑵设以点C为顶点的抛物线y＝﹙x‐m﹚²＋n与直线AB的另一交点为点D,如图②，△DOC的面积是否发生变化？若不变直接写出△DOC的面积，若变化直接写出结论。
[打这么多字好辛苦，可怜一下我吧，帮我算一算，谢谢]

Answer 1

(1)、
①显然t＝1秒时，
P点的坐标为(2，0)
而Q为(4，0)
C在AB上，故C坐标为(2，4)

②△ACQ的面积S = 1/2 × AQ × PC
显然AQ=2t，PC=6-2t，
故S=1/2 × AQ × PC =t(6-2t)=6t -2t²

若△ACQ为直角三角形，
则AQ=CQ，显然P和Q点重合，
故2t=6-2t，解得t=1.5秒

(2)、
点C为抛物线y＝(x-m)²＋n的顶点，
故C的坐标为(m，n)
而C又在直线y= -x+6上，
所以-m+6=n 即m+n=6，

令(x-m)² +n= -x+6，求出D点坐标，
即(x-m)²= -x+6-n= -x+m，
解得x=m或m-1，
显然D点坐标为(m-1，7-m)

故
S△DOC=S△BOC - △BOD
=1/2 × OB × (C点横坐标 - D点横坐标)
=1/2 × 6 × [m-(m-1)]
=3

所以△DOC的面积是不发生变化的，其面积等于3

追问

谢谢，但是②t有两个值，请帮我算一下另一个值呗、、♡万分感谢！！

追答

t 确实还有一个值，不好意思我没有考虑到
若△ACQ为直角三角形，
也可以CQ垂直于AC，
而这时候P为AQ的中点，
即PQ=AP，
P的坐标为(2t，0)
Q的坐标为(6-2t，0)

PQ=AP，
所以2t -(6-2t)=6 -2t，
即6t=12，
解得t=2秒

所以t确实有两个值，t=1.5秒或t=2秒