Question

求y*lny的积分。

Answer 1

∫ lnydy

= ylny-∫ ydlny

= ylny-∫ y*(1/y)dy

= ylny-∫ dy

= ylny-y+C

注：这里采用的方法叫分部积分法。

分部积分法：设u=u(x)及v=(x)是两个关于x的函数，各自具有连续导数u'=u'(x)及v'=v'(x)，且不定积分∫u'(x)v(x)dx存在，按照乘积函数求微分法则，则有∫u(x)v'(x)dx 存在，且得分部积分公式如下:

证明：由

或

对上式两边求不定积分，即得分部积分公式，也将其简写为

如果将dv和du用微分形式写出，则亦可得出

上两式就把udv=uv'dx的积分转化为vdu=vu'dx的积分，即将复杂的被积函数简单化。

扩展资料：

含有ax+b的积分:

含有根号下a+bx的积分:

含有x^2±a^2的积分:

含有ax^2+b的积分:

含有指数函数的积分：

参考资料：

百度百科-不定积分

百度百科-积分表

Answer 2

∫ylnydy
=1/2 ∫lnyd(y^2)
=1/2 y^2 lny - 1/2 ∫ydy
=1/2 y^2 lny - 1/4 y^2 + C