如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A,D不重合).BE的垂直平分线交AB于M,交DC于N.
设AE=X(1)试用含X的式子表示BM;(2)求证:MN=BE;(3)设四边形ADNM的面积为S,求S关於x的函数关系式。...
设AE=X
(1)试用含X的式子表示BM;
(2)求证:MN=BE;
(3)设四边形ADNM的面积为S,求S关於x的函数关系式。 展开
(1)试用含X的式子表示BM;
(2)求证:MN=BE;
(3)设四边形ADNM的面积为S,求S关於x的函数关系式。 展开
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(1)解:连结ME。
因为 MN垂直平分BE,
所以 ME=BM
因为 在正方形ABCD中,AB=2,
所以 由勾股定理可得:
ME^2=AE^2+AM^2=AE^2+(AB--BM)^2,
即: BM^2=x^2+(2--BM)^2
所以 BM=(X^2+4)/4。
(2)证明:过点C作CF//MN交AB于点F,
因为 四边形ABCD是正方形,
所以 AB=BC,AB//DC,角A=角ABC,
因为 MN垂直于BE,CF//MN,
所以 CF垂直于BE,角CFB+角FBE=90度,团神段
因为 角ABC=90度,角CFB+角BCF=90度,
所塌誉以 角FBE=角BCF,
又因为 角A=角ABC,AB=BC,
所以 三角形ABE全等于三角形FBC,
所以 BE=CF,
因为 AB//DC,CF//MN,
所以 CF=MN,
所以 BE=MN。
(3)因为 三角形瞎轿ABE全等于三角形FBC,
所以 BF=AE=X,
因为 AB//DC,CF//MN,
所以 CN=FM=BM--BF
=(X^2+4)/4--X
=X^2/4--X+1,
DN=DC--CN=2--(X^2/4--X+1)
=--X^2/4+X+1
AM=AB--BM=2--(X^2+4)/4
=--X^2/4+1,
所以 四边形ADMN的面积S=(AM+DN)XAD/2
=--X^2/2+X+2.
因为 MN垂直平分BE,
所以 ME=BM
因为 在正方形ABCD中,AB=2,
所以 由勾股定理可得:
ME^2=AE^2+AM^2=AE^2+(AB--BM)^2,
即: BM^2=x^2+(2--BM)^2
所以 BM=(X^2+4)/4。
(2)证明:过点C作CF//MN交AB于点F,
因为 四边形ABCD是正方形,
所以 AB=BC,AB//DC,角A=角ABC,
因为 MN垂直于BE,CF//MN,
所以 CF垂直于BE,角CFB+角FBE=90度,团神段
因为 角ABC=90度,角CFB+角BCF=90度,
所塌誉以 角FBE=角BCF,
又因为 角A=角ABC,AB=BC,
所以 三角形ABE全等于三角形FBC,
所以 BE=CF,
因为 AB//DC,CF//MN,
所以 CF=MN,
所以 BE=MN。
(3)因为 三角形瞎轿ABE全等于三角形FBC,
所以 BF=AE=X,
因为 AB//DC,CF//MN,
所以 CN=FM=BM--BF
=(X^2+4)/4--X
=X^2/4--X+1,
DN=DC--CN=2--(X^2/4--X+1)
=--X^2/4+X+1
AM=AB--BM=2--(X^2+4)/4
=--X^2/4+1,
所以 四边形ADMN的面积S=(AM+DN)XAD/2
=--X^2/2+X+2.
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