Question

已知点P是正方形ABCD的边BC上的一点，BP=3PC，Q是CD中点，AB=10，连接BD交AP与点M，交AQ与点N，求MN的长度

Answer 1

由AB=10 得AB=CD=AD=BC=10
由Q是CD中点, 得DQ=1/2CD=5
由 BP=3PC 得BP=7.5
由勾股定理 得 BD=√(AB²+AD²)=√(10²+10²)=10√2
由AD∥BC(BP) 得△BMP∽△AMD
BP/AD=BM/DM=BM/(BD-BM) BP/AD=7.5/10=3/4
BM/(BD-BM)=3/4 BM=30√2/7
由AB∥DC(BQ) 得△ANB∽△DNQ
DQ /AB=DN/BN=DN/(BD-DN) DQ/AB=5/10=1/2
DN/(BD-DN) =1/2 DN=10√2/3
所以MN=BD-BM-DN
=10√2-30√2/7-10√2/3
=10√2(1-3/7-1/3)
=10√2(21/21-9/21-7/21)
=10√2×5/21
=50√2/21