Question

如图,三角形ABC中,角ABC=90度,E为AC的中点

操作:过点C作BE的垂线，过点A做BE的平行线，两直线相交于点D,在AD的延长线上截取DF=BE，联结EF,BD
（1）判断EF与BD之间具有怎样的关系？并证明
（2）如果AF=2 CD=6，求AC的长

第一小题连接BF,ED，用平行四边形定理，第2小题怎么做？
三个角的位置是这样的：
C

B A

Answer 1

图可以自己画

（1）EF和BD是互相垂直且平分的关系。
证明：因为三角形ABC中，角ABC=90度,E为AC的中点
所以BE=CE=AE，
因为过点C作BE的垂线，过点A做BE的平行线，两直线相交于点D,
所以CD垂直于AD,
所以DE=AE=CE,
所以BE=DE --------（1）
又因为BE平行且等于DF
所以四边形BEDF是平行四边形---------（2）
由（1）和（2）可知四边形BEDF是菱形
所以FE和BD互相垂直且平分（菱形的对角线互相垂直且平分）。
（2） 解：设AE长为x
所以AC=2x, AD=2-x，
因为AC^2=AD^2+CD^2
所以4x^2=(2-x)^2+36
所以3x^2+4x-40=0
所以 解得 x=(+_2√31-2)/3
因为x>0
所以 x=(2√31-2)/3