Question

已知：如图①,在Rt△abc中,∠C=90°,AC=4cm,AC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速

已知：如图①,在Rt△abc中,∠C=90°,AC=4cm,AC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ.如果运动时间为t(s)（0＜t＜2）回答下列问题：
(1)当t为何值时，PQ//BC?
(2)设△AQP的面积为y（cm²），求y与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ABC的周长和面积同时平分？如果存在，求出此时t的值，如果不存在，说明理由；
(4)如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C,那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？如果存在，求出此时菱形的边长；如果不存在，说明理由.

Answer 1

(1) 假设AQ//BC，此时△APQ相似于△ABC(利用两角对应相等的两个三角形相似来证明)，则AP：AB=AQ：AC。由AC=4cm，BC=3cm，角C=90度，可以求得AB=5cm 设经过t秒满足条件，则AP=AB-BP=(5-t)cm AQ=2tcm
从而，（5-t ）：5=2t：4 解得，t = 10/7秒
（2）过点P做PE垂直于AC，交AC于点E，则△APE相似于△ABC（证明方法同上），此时，AP：AB=PE：BC 即（5-t）：5=PE：3 ，解得PE=3（5-t）/5 cm 又AQ=2t cm ，所以△APQ的面积y=AQ乘以PE除以2=这里你自己算，我不会敲t的平方，呵呵
(3)假设存在某一时刻t满足条件，则四边形PQCB的面积=△APQ的面积
而△ABC的面积=（3×4）/2=6平方厘米，故四边形PQCB的面积=6-△APQ的面积，
则6-△APQ的面积=△APQ的面积 然后将第（2）问中的y与t的函数关系式带入，即可求出t有两个值，t = (5-根号5)/2 ；t = (5+根号5)/2 (这个值舍去，由于0<t<2)
所以存在这样的一个t值。
（4）假设存在这样一个t满足条件，此时连结PP*，与AC相交于点F。
由于四边形PQP*C为菱形，所以PF垂直于QC，QF=FC（菱形的对角线相互垂直且平分）
即AF - AQ=AC - AF，2AF = AC+AQ=4 + 2t ，从而，AF = (2 + t)cm
而△APF相似于△ABC，则AP：AB=AF：AC，即（5-t)：5=(2 + t)：4 解得t=10/9秒，满足条件。 t求出来以后，你自己算QF以及PF的值，再利用勾股定理即可求出菱形的边长PQ

希望对你有所帮助！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
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