Question

已知数列{an},{bn}满足a1=2,2an=1+ana(n+1),bn=an-1，设数列{bn}的前n项和为Sn，Tn=S2n-Sn求证当n＞2时

S2^n≥（7n+11)/12

Answer 1

bn=an-1 an=bn+1 b(n+1)=a(n+1)-1 a(n+1)=b(n+1)+1
2an=1+ana(n+1),
a(n+1)=2-1/an
代入：a(n+1)=b(n+1)+1 an=bn+1
b(n+1)+1=2-1/(bn+1)
b(n+1)=1-1/(bn+1)
b(n+1)bn+b(n+1)=bn+1-1
b(n+1)bn+b(n+1)=bn
1+1/bn=1/b(n+1)
1/(b(n+1))-1/bn=1
这是以1/b1为首，1为公差的等差数列。
1/bn=1/a1+(n-1)d=1/2+(n-1)=n-1/2
bn=1/(n-1/2)=2/(2n-1)
Sn=2+2/3+2/5+......+2/(2n-1)
Tn=S2n-Sn=2[1/(2n+1)+1/(2n+3)+1/(2n+5)......+1/(4n-1)]
S2^n=2(1+1/3+1/5+....+1/(2*2^n-1))>=(7n+11)/12
数学归纳法：
n=2时，
S4=2(1+1/3+1/5+1/7)>(7*2+11)/12=25/11成立。
n=k时成立。S2^k=2(1+1/3+1/5+...+1/(2^(k+1)-1)>=(7k+11)/12
n=k+1时，
S2^(k+1)=S2*2k)>=(7*2+11)/12+2[1/(2^(K+1)+1)+1/(2^(K+1)+3)+.....+1/(2^(K+2)-1)]

1/(2^(K+1)+1)+1/(2^(K+1)+3)+.....+1/(2^(K+2)-1)
=[1/(2^(k+1)+1)+....+1/(2^(k+1)+2^k-1)]+[1/(2^(K+1)+2^k+1)+.....+1/(2^(K+2)-1)]
>=2^(k-1)/(2^(k+1)+2^k-1)+2^(k-1)/(2^(k+2)-1)
>2^(k-1)/(2^(k+1)+2^k)+2^(k-1)/(2^(k+2))=1/6+1/8=14/48=7/24
S2^(k+1))>=(7*k+11)/12+2*7/24=(7k+7+11)/12=7(k+1)+11)/12
n=k+1也成立。
所以原式成立。

Answer 2

S2^n≥（7n+11)/12是什么意思？表达式是这样的吗？

追问

就是S(2的n次方），就是前2的n次方项的和