Question

微分方程中齐次方程的齐次是什么意思，线性微分方程中的线性是什么意思

Answer 1

首先，我们要明确一个概念，微分方程是针对未知函数的方程。

那么，齐次，线性必然也是针对于未知函数的说法

1. 线性：未知函数y或者y的导数或微分的次数为1。这个说法比如一次函数是一条直线，所以是线性函数，而二次函数图像是一条曲线，所以他是非线性函数。

2. 齐次：

   这个部分我也只能拾人牙慧，推荐你去看看知乎大佬吾将的回答吧，齐次函数如果定义不明确的话我推荐你去看看维基百科

   （1）。齐次函数：满足f(ax)=a^kf(x)的函数叫做k次齐次函数。

   （2）.齐次微分方程：满足dy/dx=φ（y/x）➡dy/dx-φ（y/x）=0的微分方程叫做齐次微分方程，它的函数可以表达为f（x，y）=dy/dx-φ（y/x），f（ax，ay）=dy/dx-φ（y/x），所以这是一个0次齐次函数。

   不知道你是否注意到，在这种解法之中， 着重点是放在y与x的关系上的，即（y/x）。

   （3）一阶齐次线性微分方程：满足dy/dx+p（x）y=q（x），当且仅当q（x）=0时齐次成立，否则称之为一阶非齐线性微分方程。

   因为dy/dx+p（x）y-q（x）=0，一阶齐次线性微分方程的函数为g（y）=dy/dx+p（x）y-q（x），（q（x）=0）。g（ay）=a*dy/dx+a*p（x）y-q（x）=a*g（y），这是一个一次齐次函数。

   对于这一类方程，因为取其函数时并不关注y与x的关系，故取g（y）。

   （4）应用：在实际问题中，一般优先观察每一项中未知函数的次数是否一致，再然后才是看是否是齐次微分方程φ（y/x）形式。而这也是齐次函数的本质所在。

希望能帮到有需要的人。

Answer 2

齐次，就是不含单独x的函数项，线性指y和y的导数的次数都是1

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