Question

级数求和： arctan(1/2)+arctan(1/2^2)+arctan(1/2^3)+...+arctan(1/2^n)+...

Answer 1

你好！

“数学之美”团员448755083为你解答！

先看图片，图片上的内容是将反正切函数级数进行转化成乘方函数级数的过程，但是到最后一步已经不可再进行公式化求解了（至少到目前为止我还咩有公式化的级数和结果），只能用这个非三角的级数来表示了。

最后结果等于

1 - (1/7)/3! + (1/31)/5! - (1/127)/7! + ... 

可以看到，这个级数

前2项和为1 - 1/42 = 0.976190476

前3项和为1 - 1/42 + 1/3720 = 0.97645929

前4项和为1 - 1/42 + 1/3720 - 1/640080 = 0.976457731

趋势上来看，这个级数应该是收敛的，端看你取前几项的精度问题了。

如果简便的算法，其实还可以根据等价无穷小来算，因为x趋近于0时，tanx~sinx~x

因此原级数≈lim(n→+∞)0.5+(0.5)^2+(0.5)^3+...+(0.5)^n+...=1

这与上面计算的收敛目标0.97645..相差也不是那么大，主要误差也就是前面两项吧。

图片可能要等一会儿才能显示！

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追问

我用两边夹和数学归纳做出来了，你的方法也挺好的，就是计算量有点大，采纳了