Question

2013年660题中的概率论与数理统计第二题

设事件A，B相互独立，且0<P(A)<1,0<P(B)<1,则能下结论（）
A.A与AUB一定不独立 B.A与A-B一定不独立 C.A与B-A一定不独立 D.A与AB一定不独立
答案A 这道题是不是答案错了？我感觉D也对
答案写的是当AB=空集时成立 但是独立与互斥不能同时成立的当0<P(A)<1,0<P(B)<1
求解

Answer 1

分析：
根据定义来
P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(A)*P(B) 那么A B 就相互独立。
P[A (AUB)]=P(A)P[(AUB)/A] 显然A与AUB一定不独立
其他有可能相互独立。

追问

我想问一下为什么D是有可能相互独立呢？

追答

P(A AB)=P(A)P(AB/A)
P(AAB)=P(AA)P(B/AA)=P(A)P(B/A)=P(A)P(B)=P(AA)P(B)
联立两式，
P(AB/A)=P(B/A)=P(B)
P(AB)=P(B)
A与B 相互独立，那么A与AB 相互独立。

Answer 2

四个选项全部都是正确的 A不可能等于B 若相等 由独立可知 P(A)=0或者1 所以不可能
AB也不可能为空集 因为P（AB）>0