Question

多元函数的极值问题

过程尽量详细，最好可以手写，谢谢！

Answer 1

求函数f(x,y)=100x^(3/4)y^(1/4)满足约束条件 150x+250y=5000 的极值；

解：定义域：x≧0，y≧0;

作函数F(x，y)=100x^(3/4)y^(1/4)+λ(150x+250y-5000);

令∂F/∂x=75x^(-1/4)y^(1/4)+150λ=0；即有75(y/x)^(1/4)=-150λ..........①

∂F/∂y=25x^(3/4)y^(-3/4)+250λ=0;即有 25(x/y)^(3/4)=-250λ.................②

150x+250y-5000=0..............................................③

①÷②得 3(x/y)^(-1/2)=3/5，即3√(y/x)=3/5，y/x=1/25；x=25y；

代入③式得4000y-5000=0，即y=5/4，x=125/4；即得驻点(125/4，5/4);

故得极大值f(x，y)=f(125/4,  5/4)=100×[(125/4)^(3/4)]×(5/4)^(1/4)=625√5;

注：

Answer 2

Z = 3(x+y)-x3-y3 Z'x ＝ 3－3x2 ＝0 Z'y ＝ 3 －3y2 ＝0 极值点 x =±1，y= ±1--(极值点) A= Z''xx ＝－6x B= Z''xy ＝ 0 C= Z''yy ＝ －6y B2-AC=-36xy-----------(判别式)<0 有极值 x＝y=1 取极大值：Zmax=4 x=y=-1 取极小值：Zmin=-4