Question

函数极限的求解，帮忙解一下

解得好加分

Answer 1

解：（1） 一看就是0/0型的 为了方便我就不写下限了
原式=lim ln [(sinx/x)-1+1]/x^2=lim [sinx-x]/x^3 这里用了无穷小代换 ln(1+x)~x
应用洛必达法则 = （cosx-1）/3x^2=-1/6 这里用了 1-cosx~(x^2)/2
(2) 一看是 1^∞型
变形：原式=lim[1+1/(1+x^2)]^{[1+x^2]*[2x^2/(1+x^2)]}=e^[(2x^2)/1+x^2]=e^2
(3) 一看就是就是0/0型的
但是他可以利用泰勒公式
artanx =x-(1/3)x^3+0(x^3)
原式 =lim [(-1/3)x^3] / ( 2x^2) =0
(4) 利用无穷小代换
1-cos(sinx)~sin^2x/2 e^(x^2)-1 ~x^2当x取向于零时
愿式=lim [ sin^2x/2]/x^2=1/2
(5)化解一下可以得到
利用泰勒公式 sin(sinx)=sinx -1/6sin^3x +0(sin^3x) 代入可得：
原式=lim [sinx- sin(sinx)]/x = lim 1/6sin^3x/x=0
(6)原式=lim ( tanx-x)/(tanx *x^2)=（无穷小代换 tanx~x）lim( tanx -x )/x^3
=(洛必达)lim (sec^2x -1)/3x^2
利用三角函数关系， sec^2x=tan^2x+1
代入可得 原式=1/3
以上题目较为简单，我用的都是最简单的方法，如果你不会用泰勒公式的话，就一步一步用洛必达法则，可以做出但是太慢了，泰勒公式是求极限的很好的方法，但是一般人很难理解。
由于在里边插入公式不容易，所以 如果计算过程看不懂，及时追问！！祝你学习进步

追问

第三题你貌似做错了。
谢谢！！！