高等数学积分问题
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解：分享一种解法。原式=∫(0,π)dx/(1+cos²x)+∫(π,2π)dx/(1+cos²x)。
对后一个积分，设x=2π-α，有∫(π,2π)dx/(1+cos²x)=∫(0,π)dα/(1+cos²α)。
∴原式=2∫(0,π)dx/(1+cos²x)。同理，∫(0,π)dx/(1+cos²x)=2∫(0,π/2)dx/(1+cos²x)。
∴原式=4∫(0,π/2)dx/(1+cos²x)=4∫(0,π/2)d(tanx)/(2+tan²x)=(2√2)arctan[(tanx)/√2]丨(x=0,π/2)=(√2)π。
供参考。
对后一个积分，设x=2π-α，有∫(π,2π)dx/(1+cos²x)=∫(0,π)dα/(1+cos²α)。
∴原式=2∫(0,π)dx/(1+cos²x)。同理，∫(0,π)dx/(1+cos²x)=2∫(0,π/2)dx/(1+cos²x)。
∴原式=4∫(0,π/2)dx/(1+cos²x)=4∫(0,π/2)d(tanx)/(2+tan²x)=(2√2)arctan[(tanx)/√2]丨(x=0,π/2)=(√2)π。
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