Question

函数g(x)

已知f(x)=x³-3x²+1，令g(x)=-f(x)-3x²+tx+1，是否存在一个实数t，使得当x∈（0,1]时，g(x)有最大值1

Answer 1

g(x)=-x^3+tx g'(x)=t-3x^2
0<x<=1 -3<=-3x^2<0

讨论如下：
（1）t>=3时 g'(x)=t-3x^2>=0在(0,1]恒成立，g(x)递增
所以max{g(x)}=g(1)=t-1=1 t=2 不满足t>=3舍去

（2）0<t<3时，g'(x)=0时，x=√t/3
0<x<√t/3 g'(x)>0 √t/3<x<1 g'(x)<0
所以极大值是g(√t/3)
而且是单峰极值，也就是最大值
那么g(√t/3)=1
所以t*√t/3-(√t/3)^3=1
t=(27/4)^(1/3)<3
所以满足题意

（3）t<0 g'(x)<0恒成立，所以g(x)递减
max{g(x)}=g(0)=0不满足题意

综上：t=(27/4)^(1/3) =3*(2)^(1/3)/2

Answer 2

存在
g(x)=-x^3+3x^2-1-3x^2+tx+1
=-x^3+tx
g'(x)=-3x^2+t
令g'(x)=0,
则0=-3x^2+t
3x^2=t
x^2=t/3
x=±√（3t）/3（舍负）
x (0，√（3t）/3） √（3t）/3 （√（3t）/3，1]
g(x) + 0 -
g'(x) ↗ 极大值 ↘
g（x）最大值=-x^3+tx=1
x^3-tx+1=0
x(x^2-t)+1=0
g(1)=-1+t
g(0)=0
g(√（3t）/3)=-3t√（3t）/27+√（3t）t/3
=6t√（3t）/27
=2t√（3t）/9
0<2t√（3t）/9≤-1+t
0<2t√（3t）≤-9+9t
当2t>0时，t>0
0<√（3t）≤（-9+9t）/2t
0<√（3t）≤-9/2t+9/2
0<3t≤81/4t^2+81/4-81/2t
0<12t^3≤81+81t^2-162t
0<4t^3≤27+27t^2-54t
0<t^3 4t^3-27t^2+54t-27≤0
t>0 t（4t^2-27t+54)-27≤0
t[t(4t-27)+54]-27≤0
-27t^2-27≤0
t^2+1≥0
t^2≥-1
Δ=729-864<0
当2t<0时，t<0
0＞√（3t）≥（-9+9t）/2t
0>√（3t）≥-9/2t+9/2
0＞3t≥81/4t^2+81/4-81/2t
0>12t^3≥81+81t^2-162t
0>4t^3≥27+27t^2-54t
0>t^3 4t^3-27t^2+54t-27≥0
t<0 t（4t^2-27t+54)-27≥0
t[t(4t-27)+54]-27≥0
无解
Δ=729-864<0
令g(√（3t）/3)=1
则1=2t√（3t）/9
9=2t√（3t）
81=4t^2*3t
81=12t^3
t^3=6.75=81/12=27/4
t=(6.75)^(1/3)=3/4^（1/3)=3*16^(1/3)/4