Question

对于正整数n，证明1/（1*2+2²） + 1/（2*3+3²） +1/[n*(n+1)+(n+1)²]＜5/12

Answer 1

n*(n+1)+(n+1)²〉2n*(n+1) 所以1/[n*(n+1)+(n+1)²]＜1/2n（n+1）=1/2 ×［1/n －1/(n+1）］
则1/（1*2+2²） + 1/（2*3+3²） +。。。。+1/[n*(n+1)+(n+1)²]＜1/2 ×［1-1/2+1/2-1/3+.....................+1/n-1/（n+1）］=1/2×n/（n+1）
以为n为正整数则当n=5时1/（1*2+2²） + 1/（2*3+3²） +1/[n*(n+1)+(n+1)²]＜5/12成立

追问

应该是：
1/[n*(n+1)+(n+1)²]=1/(n+1)(2n+1) ＜1/(n+1)2n = 1/2[1/n- 1/(n+1)]
1/（1*2+2²）+ 1/（2*3+3²）+1/[n*(n+1)+(n+1)²]＜1/（1*2+2²）+ 1/2[1/2- 1/3 +1/3-1/4+1/4-1/5...]
＜1/6+ (1/2)*(1/2)=5/12

追答

对

Answer 2

用数学归纳法证明左端<=5/12--1/【2(n+1)】。
当n=1时左边=1/6，5/12--1/4=2/12=1/6=左边，成立。
假设结论对n成立，即
1/(1*2+2^2)+....+1/[n*(n+1)+(n+1)^2]<5/12--1/(2(n+1))，
则对n+1有
1/(1*2+2^2)+...+1/[n*(n+1)+(n+1)^2]+1/[(n+1)*(n+2)+(n+2)^2]
<=5/12--1/[2(n+1)]+1/[(n+2)*(2n+3)]
<5/12--1/[2(n+2)]。
最后一个不等号可自己验证。因此结论成立。