Question

数列{n(n+1)}的前n项和为

Answer 1

在这里要先证明1^2+2^2+3^2+…+n^2=[n(n+1)(2n+1)]/6：
因为(n+1)^3-n^3=(n+1-n)[(n+1)^2+n(n+1)+n^2]=3n^2+3n+1
将n=1,2,3,.....分别代入上式可得：
2^3-1^3=3x1^2+3x1+1
3^3-2^3=3x2^2+3x2+1
......
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将上式累加起来可得
(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+.....+n)+n
又有1+2+3+....+n=n(n+1)/2
所以1^2+2^2+3^2+…+n^2=[(n+1)^3-1-n-3n(n+1)/2]/3
=[n(n+1)(2n+1)]/6
那么数列{n(n+1)}的前n项和为：
(1^2+2^2+3^2+…+n^2)+(1+2+3+....+n)
=[n(n+1)(2n+1)]/6+n(n+1)/2
=[n(n+1)(n+2)]/3

Answer 2

n(n+1)=n^2 +n
Tn=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)
=n(n+1)(2n+1)/6 +n(n+1)/2 这是两个公式
=[n(n+1)/6](2n+1+3)
=n(n+1)(2n+4)/6
=n(n+1)(n+2)/3

Answer 3

题写错了吧

Answer 4

隆重推荐！裂项相消法：n（n＋1）＝[（n－1）n（n＋1）－n（n＋1）（n＋2）]/3
令An＝n（n＋1），其前n项和为Sn，又令Bn＝（n－1）n（n＋1）/3，
则n（n＋1）（n＋2）＝B（n＋1）/3
所以An＝B（n＋1）－Bn，
Sn＝A1＋A2＋…＋A（n－1）＋An
＝An＋A（n－1）＋…A2＋A1
＝B（n＋1）－Bn＋Bn－B（n－1）＋…＋B3－B2＋B2－B1
＝B（n＋1）－B1，
而B（n＋1）＝n（n＋1）（n＋2）/3，B1＝0，
所以所求Sn＝n（n＋1）（n＋2）/3