Question

例3． 设A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2=2px（p>0）上位于x轴两侧的两点。

例3． 设A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2=2px（p>0）上位于x轴两侧的两点。（1）若y1y2=-2p，试证明直线AB恒过一个定点；（2）若p=2，∠AOB（O为坐标原点）为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范围。

Answer 1

证明：
设直线AB的方程x=my+n 与抛物线方程联立得
y^2-2mPy-2nP=0
y1+y2=2mP
y1y2=-2nP
x1x2=m^2y1y2+mn(y1+y2)+n^2=n^2
∴n=√x1x2 直线AB过定点(√x1x2,0)

(1)(y1y2)^2=4P^2x1x2=(-2P)^2
x1x2=1 故直线AB过点(1,0)

(2)设直线AB的方程x=my+n 与y^2=4x联立得
y1y2=-4n
y1+y2=4m
x1x2=n^2
因为OAB为钝角 有
向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=n^2-4n<0
得0<n<4