Question

请问第三题怎么做感谢？

Answer 1

let
t= tan(x/2)
dt = (1/2)[sec(x/2)]^2 dx
dx =2dt/(1+t^2)
x=0, t=0
x=π, t=+∞
∫(0->2π) dx/(5-3cosx)

=∫(0->π) dx/(5-3cosx) +∫(π->2π) dx/(5-3cosx)
=2∫(0->π) dx/(5-3cosx)
=2∫(0->+∞) [2dt/(1+t^2)]/[5-3(1-t^2)/(1+t^2) ]
=4∫(0->+∞) dt /[5(1+t^2)-3(1-t^2) ]
=4∫(0->+∞) dt/( 2 +8t^2)
=2∫(0->+∞) dt/[ 1 +(2t)^2]
=∫(0->+∞) d2t/[ 1 +(2t)^2]
=[arctan(2t) ]|(0->+∞)
=π/2

追问

感谢 请问你是怎么想到这样换元的？

追答

这个换元是教科书上的典型的例子！