Question

证明本征向量问题

若厄米算符A的本征值为 a, b 相应的本征向量为|a>, |b>

哈密顿算符写为 H = |a><b| + |b><a|

请问 |a>，|b>是否 H的本征向量？

我是这样想，如果A和H对易，它们有共同的本征向量，所以我想证明

AH - HA =0

AH = a|a><b| + b|b><a|

但HA = |a><b|A + |b><a|A
算到这里不知怎麼写下去，请问 <b|A 和 <a|A 是甚麼？能写成 <b|b 和 <a|a 吗？

Answer 1

H|a>=|a><b|a>+b><a|a>
由于厄米算符A的本征值为 a, b 相应的本征向量为|a>, |b>
所以|a>, |b> 正交 <b|a>=0
所以H|a>=|b>（假设以归一）
所以不是本征向量