Question

初三数学压轴题？

如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，BE＝2，F是Ab上的动点，把线段EF绕点E旋转45°得到线段EG，连接CG，求CG的最小值

Answer 1

如图所示，在AB上取一点H，使得BE=BH=2，

连接EH，过点G作GI⊥EH，过点E作EJ⊥CG。

因为在矩形ABCD中有∠B=90° ①，BE=BH=2，

所以△BEH是等腰直角三角形，有∠BEH=45°，

因为EG是由EF顺时针旋转45°而来，有EF=EG ②，∠BEH=∠FEG=45°，

所以∠BEF=∠IEG ③，又因为GI⊥EH ④，由①②③④可证得△BEF≌△IEG（AAS），

有BE=IE=2，即点I为固定点，所以点F在AB上运动时，点G随之在GI上运动，

显然当CG⊥GI时CG取得最小值，

此时易知四边形EIGJ是矩形，EI=GJ=2，∠IEJ=90°，

则∠CEJ=180°-45°-90°=45°，可知△CEJ是等腰直角三角形，

而CE=8-2=6，易知CJ=3√2，所以CG=GJ+CJ=2+3√2，

综上所述，CG的最小值为2+3√2。

【此时发现AB=6是多余条件，其实严谨来说并不是，

若要严谨的回答，应在最后证明当CG⊥GI时，满足GI≤AB，

因为当GI＞AB时，点F在BA的延长线上，不符合题意，

所以当CG⊥GI时GI＞AB，则当点F与点A重合时CG取得最小值。】