在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC垂直BC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点,求证MN垂直平面A1BC
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连结BN，A1N因为NC1=NB1，
AC=CC1.AC=A1C1,，CC1=B1B，所以B1B=A1C1，
所以Rt△A1C1N≌Rt△BB1N.
所以NB=NA1
所以NM⊥A1B。又因为NM//平面ACC1A1，在直三棱柱中平面ACC1A1⊥平面CBB1C1，所以MN⊥平面CBB1C1，所以MN⊥BC，因为BC∩A1B=B，所以MN垂直A1BC
AC=CC1.AC=A1C1,，CC1=B1B，所以B1B=A1C1，
所以Rt△A1C1N≌Rt△BB1N.
所以NB=NA1
所以NM⊥A1B。又因为NM//平面ACC1A1，在直三棱柱中平面ACC1A1⊥平面CBB1C1，所以MN⊥平面CBB1C1，所以MN⊥BC，因为BC∩A1B=B，所以MN垂直A1BC
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