Question

已知函数f (x)＝x(ex－2)，g (x)＝x－lnx＋k，k∈R，e为自然对数的底．记函数F(x)＝f(x)＋g (x)．

（1）求函数y＝f (x)＋2x的极小值（2）若F(x)＞0的解集为(0，+∞)，求k的取值范围（3）记F(x)的极值点为m．求证：函数G(x)＝|F(x)|＋lnx在区间(0，m)上单调递增．(极值点是指 函数取极值时对应的自变量的值)

Answer 1

（1）∵g（x）=f（x）-x=k?ex ex+1 -x在R上为减函数， ∴g′(x)＝kex(ex+1)?kex?ex (ex+1)2 ?1=kex (ex+1)2 ?1≤0恒成立．即k≤(ex+1)2 ex 恒成立． ∵(ex+1)2 ex =ex+1 ex +2≥2+2=4．当且仅当ex＝1 ex ，即x=0时，(ex+1)2 ex 的最小值为4． ∴k的取值范围为（-∞，4]．（2）由（1）知， k∈（0，4]时，g（x）在R上为减函数．又g（0）=k 1+1 ?0=k 2 ＞0， g（4）=k?e4 e4+1 -4=ke4?4e4?4 e4+1 =(k?4)e4?4 e4+1 ， ∵k≤4， ∴（k-4）e4-4＜0， ∴g（4）＜0． ∴g（x）=0在（0，4）上有一个根x=x0．又g（x）在R上为减函数， ∴g（x）=0有且只有一个根x=x0． ∴当x＞x0时，有g（x）＜g（x0）=0．即f（x）-x＜0， ∴x＞f（x）．① 又∵f（x）=k?ex ex+1 =