Question

求函数f(x)=lnx-ax+1/2x^2的单调区间

Answer 1

楼主所给函数中的x^2是在分母还是在分子？
如果是在分子的话：
解：
f(x)=lnx-ax+1/2x^2
f(x)=lnx-ax+(x^2)/2
f'(x)=1/x-a+x
令：f'(x)＞0，即：1/x-a+x＞0
1、当x＞0时，x^2-ax+1＞0
{x-[a+√(a^2-4)]/2}{x-[a-√(a^2-4)]/2}＞0
有：x1＞[a+√(a^2-4)]/2、x2＞[a-√(a^2-4)]/2…………(1)
或：x1＜[a+√(a^2-4)]/2、x2＜[a-√(a^2-4)]/2…………(2)
由(1)得：x＞[a+√(a^2-4)]/2
由(2)得：x＜[a-√(a^2-4)]/2
注意到x＞0，f(x)单调增区间是：x∈([a+√(a^2-4)]/2，∞)∪(0，[a-√(a^2-4)]/2)
2、当x＜0时，x^2-ax+1＜0
{x-[a+√(a^2-4)]/2}{x-[a-√(a^2-4)]/2}＜0
有：x1＞[a+√(a^2-4)]/2、x2＜[a-√(a^2-4)]/2…………(1)
或：x1＜[a+√(a^2-4)]/2、x2＞[a-√(a^2-4)]/2…………(2)
由(1)可见，矛盾，无解
由(2)得：[a-√(a^2-4)]/2＜x＜[a+√(a^2-4)]/2
注意到x＜0，而上述结果要求x＞[a-√(a^2-4)]/2＞0。
因此，当x＜0时，无解。
综上所述：
当x＞0时，f(x)单调增区间是：x∈([a+√(a^2-4)]/2，∞)∪(0，[0，a-√(a^2-4)]/2)

同理，再令：f'(x)＜0，即：1/x-a+x＜0
由此，可以求出f(x)的单调减区间。
这个问题，就留给楼主做练习吧。一点都不难，仿照上面给出的方法去做就行了，只是需要细心与耐心。
祝楼主顺利。

Answer 2

f'(x)=1/x-a+x=0
x1,2=[a±√(a^2-4)]/2 (a>2)
(-∞，[a-√(a^2-4)]/2 ]单调递增，
【[a-√(a^2-4)]/2 ,[a+√(a^2-4)]/2 】单调递减
【[a+√(a^2-4)]/2 ，+∞）单调递增 (a>2)
(-∞,+∞)单调递增 (a≤2)