Question

已知圆X^2+Y^2+X-6Y+M=0和直线X+2Y-3=0交于A.B两点，若OA⊥OB，求m的值

要详细的解题思路 谢谢合作

Answer 1

设A（x1，y1）B（x2，y2)
X^2+Y^2+X-6Y+M=0，
X+2Y-3=0,即x=3-2y
代入圆方程得5y^2-20y+12+M=0
y1y2=(12+M)/5,
y1+y2=20/5=4
x1+x2=(3-2y1)+(3-2y2)=6-2(y1+y2)=-2
x1x2==(3-2y1)*(3-2y2)=9-6(y1+y2)+4y1y2=9-24+4*(12+M)/5=15-(48+4M)/5
因为OA⊥OB，所以（x1-0，y1-0）*（x2-0，y2-0）=x1x2+y1y2=0
即【15-(48+4M)/5】*(12+M)/5=0
解得M=27/4或-12

追问

圆心坐标为（-1/2,3） （x1-0，y1-0）*（x2-0，y2-0）是从何而来

追答

（x1-0，y1-0）*（x2-0，y2-0）是向量的数乘，高中的知识，你还没学？
你题目中的O指的是原点吧。

追问

没学高中的 你感觉我能问出这样的问题吗？？ 在说了 不管O指什么 你的答案也不对啊 哥们

追答

恩，不好意思哦，我上面计算出错了。

Answer 2

设A、B点坐标为（x1、y1）、（x2、y2）
由OA⊥OB可得OA^2+OB^2=AB^2
可以得到x1*x2+y1*y2=0
把直线方程代入圆方程可得一个关于x的一元二次方程，根据解的特性可得到x1*x2和x1+x2
然后求y1*y2
代入上式可得到关于m的方程，解方程即可（注意m的范围）

Answer 3

x=3-2y带入圆的方程
5y^2-20y+12+m=0 由韦达定理 y1+y2=4 y1y2=(12+m)/5
由OA⊥OB
y1y2+x1x2=(3-2y1)(3-2y2)+y1y2=9-6(y2+y1)+5y1y2=m-3+0
m=3

追问

因为垂直 斜率乘积为-1 圆心坐标为（-1/2,3） 你的y1y2+x1x2怎么来的？

追答

由OA⊥OB
(X1+1/2,Y1-3)乘(X2+1/2,Y2-3)-10（y1+y2）+5y1y2+21+1/4=m-27/4=0

追问

你的答案是复制别人的吧 我提的这个问题已经有好多人问过了

追答

我了个去的，还用把草纸拍下来给您发一下，或者您给我找一下我复制答案的出处OK?