Question

如图，在直角梯形中OABC，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0）

如图，在直角梯形中OABC，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM．若没运动时间为t（s）（0＜t＜8）．
（1）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形△OAB与相似？
（2）设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式；
（3）连接ME，在上述运动过程中，五边形MECBD的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）若△BAO∽△BDM，则BA BD =BO BM ，（1分）
即8 t =10 10-t ，解得t=40 9 ；（2分）
若△BAO∽△BMD，BA BM =BO BD ，（3分）
即8 10-t =10 t ，解得t=50 9 ；（4分）
所以当t=40 9 或t=50 9 时，以B，D，M为顶点的三角形与△OAB相似．

（2）过点M作MF⊥AB于F，则△BFM∽△BAO；
从而MF 6 =10-t 10 ，所以MF=6-3 5 t，（5分）
S△BDM=1 2 BD•MF=1 2 t（6-3 5 t），（6分）
△BDN∽△OBC，S△OBC=1 2 ×10×6=30，
S△BDN S△OBC =（t 10 ）2，所以S△BDN=3 10 t2（7分）
①当0＜t≤5时，y=S△DMN=S△BDM-S△BDN=1 2 t（6-3 5 t）-3 10 t2=-3 5 t2+3t；
②当5＜t＜8时，y=S△DMN=S△BDN-S△BDM=3 10 t2-1 2 t（6-3 5 t）=3 5 t2-3t．（8分）

（3）在△BDM与△OME中，
BD=OM=t，∠MBD=∠EOM，BM=EO=10-t，
所以△BDM≌△OME；（9分）
从而五边形MECBD的面积等于三角形OBC的面积，因此它是一个定值，
SMECBD=30．（10分）