Question

高中数学数列求和

数列求和的构造新数列法怎么用？
如下题，，

Answer 1

数列的解法主要有这么几种：

求通项公式：

1.叠加法

通常是形如An-（An-1）=k的形势，其中后面的k要么是常数，要么就是可以求和的

例如：已知数列An，An-（An-1）=n，A1=1，求An；

就可以这么写：

A2 - A1= 2
A3 - A2= 3
……
An - An-1 =n

全部加起来，就得到An-A1=（2+3+……+n），即可解出An。

这个办法的关键在于后面的k要可以求和。这里的2，3，4……是可以求和的。等比数列当然也可以，比如An - An-1 =2^n。

2.叠乘法

形如An / An-1 =k的递推公式可以用叠乘法，思路和上面一样，不过同样的，k要能够求积。

3.前项后项之间的线性关系

形如An = k【（An-1）】+b 的递推关系属于此类。解决方法是把它弄成一个等比数列。弄的办法是，把原式两遍加上m，使其满足：

An+m = k【（An-1）+（b+m）/k】

其中，（b+m）/k应该等于m （因为我们想要把它弄成等比数列），解出m=b/（k-1），然后的事情你就会了吧。先把数列An + m的通项公式搞定，然后减去m就可以了。

4.构造辅助数列

在高考范围内，这个一般不会太难，主要的思想是把递推公式中不好处理、带n的东西弄成常数，然后剩下的事情是自然的事。

例如：An= - An-1 + 3^n，A1=0,求通项公式

这里面我们就可以把烦人的3^n除下去，让它变成常数。

然后是 An/3^n = - An-1 /3^n +1

这时有个思想：An和n一拨，An-1 和 n-1 一拨。右边的An-1 和n一拨，这不对，所以乘一个1/3出来，得到：

An /3^n = -1/3（（An-1）/3^n+1）+1

看明白了吧，你不觉得眼熟吗？“前后项的线性关系”没错吧。按照那个思路，这道题就解决了。

其实一般的辅助数列他都给你造好了，那就更简单了。记住：只要在题目中看见“设Bn=……”，那么它再难也是简单题。原则就是一个：凑，方法是：看谁跟谁一拨。方法跟上面的一样。

求和主要就是列项和错位相减，列项适用于形如（1×2）分之1 + （2×3）分之1这样，可以对消掉中间项的分式；而错位相见适用于一个等差数列与一个等比数列的乘积数列。如An= n*(2^n），就可以用错位相减。方法是：先写几项，然后乘上公比，做差，计算中间等比数列的和，整理答案。

例如求上面的数列前N项和：

Sn= 1×2 + 2×4 + 3×8 +……+ n×2^n

2Sn= 1×4 + 2×8 +……+ （n-1）×2^n + n×2^(n+1)

上减下：-Sn=2+（4+8+……+2^n）-n×2^（n+1）

把中间的等比数列之和求出来，题目即可解出。

现在主要就是考察这些，知道这些方法后，他难不住你的

Answer 2

特征方程X=X/2+1，解得X=2，则可构造新数列a（n+1）-2=(1/2)(a(n)-2)。

Answer 3

两边同除以(1/2)^(n+1)
令bn=(an)/(1/2)^n
叠加即得

Answer 4

两边同时乘以2^n+1，得(2^n+1)a(n+1)=(2^n)a(n)+(2^n+1)，
令bn=(2^n)a(n)，则b(n+1)=b(n)+(2^n+1)，利用叠加法可以得到b(n)的通项公式，进而可以求出a(n)的通项公式，计算量有点大，要耐心细心哈

Answer 5

q=1/2
an=(1/2)^n-1