Question

一道关于正方形的数学题

已知：正方形ABCD 等边三角形CDE EG⊥BF交CD于点G
求证：三角形FGB为等边三角形
谢谢！

Answer 1

连接AE
因为△CDE为等边，ABCD为正方形，所以ED=EC=CD=AD=BC，
所以△ADE全等于△CBE为等腰△,所以EA=EB
∠EDC=60°，所以∠ADE=30°，∠DAE=∠DEA=75°
同理得∠ECB=∠EBC=75°
因为EG⊥BF,即∠GEB=∠GEF=90°
所以∠GEC=15°因为∠DEC=60°所以∠DEG=45°，所以∠DEF=45°
又因为∠ADE=30°，所以∠AFE=∠ADE+∠DEF=45°+30°=75°=∠DAE
所以AE=EF=EB，即E是FB的中点且GE垂直于BF
所以FG=BG
因为EG⊥BF，即∠GEF=90°，
因为∠FDG=90°，∠FDG+∠FEG=180°，
所以D、G、E、F四点共圆，（若四边形对角互补，则四边形内接于圆）
所以∠EFG=∠EDG，（同弧圆周角相等），
因为△EDC是正△，
所以∠EDC=60°，
所以∠EFG=60°，又FG=BG
所以△FGB为等边三角形

Answer 2

做辅助线，连接AE
因为△CDE为等边，ABCD为正方形，所以ED=EC=CD=AD=BC，
所以△ADE全等于△CBE为等腰△,所以EA=EB
∠EDC=60°，所以∠ADE=30°，∠DAE=∠DEA=75°
同理得∠ECB=∠EBC=75°
因为EG⊥BF,即∠GEB=∠GEF=90°
∠GEC=15°
∠DEC=60°
∠DEG=45°
∠DEF=45°
又因为∠ADE=30°，所以∠AFE=∠ADE+∠DEF=45°+30°=75°=∠DAE
所以AE=EF=EB，即E是FB的中点且GE垂直于BF
所以FG=BG