Question

设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)

Answer 1

由于f(x)连续，则∫(0,x)tf(x-t)dt可导，
由于f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt，因此f(x)可导
换元，令x-t=u，则dt=-du，u：x→0
f(x)=e^x-∫[x→0] (x-u)f(u)du
=e^x+∫[0→x] (x-u)f(u)du
=e^x+x∫[0→x] f(u)du-∫[0→x] uf(u)du
两边求导得
f '(x)=e^x+∫[0→x] f(u)du+xf(x)-xf(x)
=e^x+∫[0→x] f(u)du (1)
由∫[0→x] f(u)du可导得：f '(x)可导
(1)两边再求导得：f ''(x)=e^x+f(x) 二阶常系数非齐次线性微分方程
将x=0代入原式得：f(0)=1
将x=0代入(1)得：f '(0)=1
这样问题转化为求解微分方程初值问题
f ''(x)-f(x)=e^x
f(0)=1
f '(0)=1
特征方程为：r²-1=0，解得r=±1
因此齐次方程通解为：C1e^x+C2e^(-x)
设方程特解为：y*=axe^x
代入微分方程解得：a=1/2
因此微分方程通解为：f(x)=C1e^x+C2e^(-x)+(1/2)xe^x
将初始条件f(0)=1，f '(0)=1代入得：f(x)=(3/4)e^x+(1/4)e^(-x)+(1/2)xe^x