Question

一道高二数学不等式题

已知函数f(x)=√2x^2+1。若x1 ≠x2，求证：|f(x2)-f(x1)|<√2|x2-x1|
f(x)=√（2x^2+1）

Answer 1

题目应该少了一个条件： x1,x2∈（0，1/2）
|f(x2)-f(x1)|=|√2(x2)^2-√2(x1)^2|<√2|x2-x1||x2+x1|
∵x1,x2∈（0，1/2）
∴|x2+x1|<1
∴|f(x2)-f(x1)|<√2|x2-x1|

Answer 2

方法特多。给你最简单的向量法吧：设向量a=(√2x1,1),b=(√2x2,1),因为x1 ≠x2，所以两个向量不平行，于是｜｜a|-|b||<|a-b|,将|a-b|=√2|x2-x1|，｜a|-|b|=f(x2)-f(x1)，代入就证到了。